电子的大小（一）：经典理论

经典电子半径

1897 年，汤姆逊爵士提出阴极射线是理论由带负电的高速粒子组成，他把这种粒子叫做 corpuscles（微粒）, 不过当代科学家大多接受了爱尔兰物理学家乔治·斯通尼建议的经典哥哥辅导我作业忍不住_免费入口精品名称：electron，中文译作电子。理论电子的经典产生带有划时代的意义，它标志着量子时代的理论到来。

汤姆逊早年的经典工作是研究动体的电动力学。他认为，理论由于电磁阻尼效应，经典运动的理论带电体的质量会增加，他因此引入电磁质量的经典哥哥辅导我作业忍不住_免费入口精品概念，在量子场论中这个概念发展为自能修正。理论在这个基础上，经典人们进一步推测物质的理论质量全部来自于其电磁能。电子发现以后，经典人们将这一学说应用于电子。

假定电子是一个半径为 $r_e$r_e 的带电小球，且其电荷均匀地分布在表面上。那么根据电动力学，这样一个带电小球的电磁能量为： $E=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_e}$E =\frac{e^2}{4pi varepsilon_0 r_e} 。借用质能关系， $E=m_e{c}^2$E = m_e c^2 ，电子的半径为： $r_e=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{m}_e{c}^2}${r_e = \frac{e^2}{8pi varepsilon_0 m_e c^2} } 。如果我们采用实心球而非球壳，电子半径应为 $r_e=\frac{3e^2}{20\pi {\epsilon }_0{m}_e{c}^2}${r_e = \frac{3e^2}{20pi varepsilon_0 m_e c^2} } 。为了方便起见，将去掉形状因子的量 $\overline{)r_{\text{ce}}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{c}^2}}$\boxed{r_\text{ce} = \frac{e^2}{4pivarepsilon_0 m_ec^2}} ，做经典电子半径 (classical electron radius)。为了方便起见，我们做计算将会使用球壳模型。$r_{\text{ce}}$r_\text{ce} 的值可以计算出来，约为 $1.1\times {10}^{-13}$1.1\times 10^{-13} 米。若用同样的方法得到质子半径为 $r_{\text{cp}}=1.2\times {10}^{-16}$r_\text{cp} = 1.2\times10^{-16} 米【1】，远小于电子。

电子不但带有电荷，还带有自旋角动量 $S=\hslash /2$S = \hbar/2 。如果我们把电子视为经典的自旋球壳，则其角速度满足： $\frac{\hslash }{2}=\frac{2}{3}{m}_e\omega r_e^2$\frac{hbar}{2} = \frac{2}{3}m_e\omega r^2_e 。这样以来，我们得到电子表面的线速度：$\overline{)v\equiv \omega r_e=\frac{3}{4\alpha }c}$\boxed{v \equiv \omega r_e = \frac{3}{4alpha}c} ，此处， $\alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}$\alpha = \frac{e^2}{4pi varepsilon_0 hbar c} 为精细结构常数，其值约为1/137。因此，该特征速度为光速的100多倍，因此，经典电子模型严重违悖了狭义相对论。可见， 电子并非是一个半径为 $r_e$r_e 的带电小球。

当然，这个论证有个漏洞。既然电子有自旋，其自旋必然也会占一部分能量，尤其是考虑到若电子相对论效应比较明显时。电子总能量至少应为自旋与电能之和。假定电子的静止质量为 $m_0,$m_0, 半径为 $r_e$r_e ，自转角动量为 ${\omega }_e$\omega_e 。那么，我们要求，

$m_e{c}^2=E_{\text{em}}+E_{\text{spin}}=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{r}_e}+m_0{c}^2\frac{1}{2\beta }\ln \frac{1+\beta }{1-\beta }$m_ec^2 = E_\text{em} + E_\text{spin} = \frac{e^2}{8pivarepsilon_0 r_e} + m_0c^2\frac{1}{2beta}\ln\frac{1+beta}{1-beta} ，

$\frac{1}{2}\hslash =\frac{2}{3}{m}_0{r}_e^2{\omega }_e$\frac{1}{2}\hbar = \frac{2}{3}m_0r_e^2\omega_e ，

其中 $m_0$m_0 是电子静止质量，$\beta ={\omega }_e{r}_e/c$\beta = \omega_er_e/c ，式中已经使用了相对论性的转动动能。引入无量纲量 $\xi =m_0/m_e$\xi = m_0/m_e ，则易得，

$\xi =\frac{2}{\frac{4}{3}\alpha \beta +\frac{1}{\beta }\ln \frac{1+\beta }{1-\beta }}$\xi = \frac{2}{\frac{4}{3}\alpha\beta + \frac{1}{beta}\ln \frac{1+beta}{1-beta}} ，

$\frac{r_e}{r_{\text{ce}}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{8\alpha {\beta }^2}\ln \frac{1+\beta }{1-\beta }$\frac{r_e}{r_{\text{ce}}} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8alphabeta^2}\ln\frac{1+beta}{1-beta}

两个无量纲量的取值范围为： $0\le \beta \le 1,0\le \xi \le 1$0 \leq \beta \leq 1, 0 \leq \xi \leq 1 。电子半径在 $\beta \approx 0.796$\beta \approx 0.796 时取到最小值 $r_e=177r_{\text{ce}}$r_e = 177 r_\text{ce} ，此时 $\xi \approx 0.73$\xi \approx 0.73 。

可见，电子的经典图像与相对论并不绝对违悖。

当然，现今我们知道，电子是微观粒子，描述其结构需要考虑其量子性。而从电子的经典图像也暗示着，描述电子的结构可能需要相对论。在更基本的理论中，电子需要量子场论的描述。在量子场论中，人们常常说电子是点粒子 —— 不过这一论断并无物理实质，仅仅是电子是标准模型中的基本粒子的另一种表述。在量子场论中，考虑电子结构，汤姆逊的思想仍然适用，即需要考虑电磁相互作用带来的电子的自能修正。不过此时，电子的半径是无穷大而不是零！这其实可以理解，因为电子的库仑力是长程的。关于在场论中电子的结构，我们后面再讨论。